Mathe

Schultimer

Diese Seite kann dir helfen, mathematische Konzepte und Zusammenhänge zu verstehen und Probleme effektiver zu lösen. Sie ist auch nützlich als Referenz, um schnell nach einer benötigten Formel nachschauen zu können.

Geometrie

Pythagoras

a²+b²=c²

Kreis

Umfang: U=2·π·r

Fläche: A=r²·π

Rechteck

Umfang: U=2·(a+b)

Fläche: A=a·b

Dreieck

Umfang: U=a+b+c

Fläche: A=½·c·h_c

Zylinder

Grundfläche: G=π·r²

Volumen: V=π·r²·h

Mantel: M=2π·r·h

Oberfläche: O=2G+M

Quader

Grundfläche: G=a·a

Oberfläche: O=2·(ab+ac+bc)

Volumen: V=a·b·c

Kegel

Grundfläche: G=π·r²

Oberfläche: O=π·r·(r+s)

Volumen: V=^G·h₃

Quadratische Pyramide

Grundfläche: G=a·a

Oberfläche: O=a²+2a·h_a

Volumen: V=^G·h₃

Kugel

Volumen: V=⁴/₃π·r³

Oberfläche: O=4π·r²

Trapezsäule

Grundfläche: G=^a+c₂·h_a

Oberfläche: O=2G+h(a+b+c+d)

Volumen: V=G·h

Analysis

Lineare Gleichungssysteme

Zwei Gleichungen mit jeweils zwei Variablen x und y.
a₁x+b₁y=c₁ (|)
a₂x+b₂y=c₂ (||)
} allgemeine Form

1. Einsetzungsverfahren

a) Eine Gleichung nach einer Variable auflösen

b) Lösungsterm in die zweite Gleichung einsetzen

2. Gleichsetzungsverfahren

a) Beide Gleichungen nach gleichen Variablen auflösen

b) Beide Terme gleichsetzen

3. Additionsverfahren

Beide Gleichungen so umformen, dass durch Addition oder Subtraktion eine Variable herausfällt

Schlussendlich: Eine Gleichung enthält lediglich eine Variable, die mithilfe von Auflösen berechnet werden kann. Den Wert der berechneten Variablen in eine der beiden Gleichungen einsetzen und die zweite Variable ausrechnen.

4. Grafische Lösung

a) Beide Gleichungen nach y auflösen

b) Beide Geraden zeichnen
(Funktionsgleichung: y=mx+b)

c) Lösungsmenge: Die Koordinaten des Schnittpunkts S (xs | ys)

Es ist auch möglich, dass es keine Lösung gibt (die Geraden sind echt parallel) oder unendlich viele Lösungen (Geraden sind identisch).

Quadratische Funktion

1. Allgemeine Form: f(x)=ax²+bx+c

2. Scheitelform: f(x)=a(x-d)²+e

Scheitelpunkt S(d|e)

d=Verschiebung auf der x-Achse

e=Verschiebung auf der y-Achse

Parabel

Die quadratische Gleichung ax2+bx+c=0 hat...

...keine reelle Nullstelle, falls b2-4ac<0

...eine doppelte Nullstelle, falls b2-4ac=0

...zwei einfache Nullstellen, falls b2-4ac>0

Die "Mitternachtsformel" liefert die Nullstellen:

x½=^{-b±√b²-4ac}_2a

Algebra

Bruchrechnung

1. Multiplikation

^a_b · ^c_d = ^a·c_b·d

2. Division

^a_b : ^c_d = ^a·d_b·c

3. Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

^a_b ± ^c_b = ^a±c_b

4. Addition und Subtraktion von Brüchen mit ungleichem Nenner

^a_b ± ^c_d = ^a·d_c·d ± ^b·c_d·c = ^a·d±b·c_c·d

Potenzen

aⁿ=a·a·a·a·...·a
→ n-Faktoren von a

a=Basis
n=Exponent

Spezielle Potenzen

a¹=a
a⁰=1
a^-n=¹_aⁿ

Potenzgesetze

1. Gleiche Basis: aⁿ·a^m=a^n+m

2. Gleicher Exponent: aⁿ·bⁿ=(a·b)ⁿ

3. Potenzieren: (aⁿ)^m=a^n·m

Dreisatz

Maik kauft für sich und zwei Mitschüler*innen insgesamt drei Döner für 11,70 €. Am nächsten Tag bitten ihn auch Lea und Lukas jeweils einen für sie zu kaufen. Wie viel Geld muss er diesmal mitnehmen?

Binome

1. (a+b)²=a²+2ab+b²

2. (a-b)²=a²-2ab-b²

3. (a+b)·(a+b)=a²-b²

4. (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc